Ángulo
Un ángulo es la figura formada por dos rayos que comparten un extremo común, medida en grados o radianes.
Formula
\text{Full rotation} = 360^\circ = 2\pi \text{ radians}
Definition
Un ángulo se forma cuando dos rayos comienzan en el mismo punto, llamado el vértice, siendo los dos rayos sus lados; medimos los ángulos en grados o radianes para describir qué tan abiertos están, con una vuelta completa igual a $360^\circ = 2\pi$ radianes. La medida de un ángulo describe la cantidad de rotación de un lado al otro, y en términos de álgebra lineal, el ángulo entre los vectores $u$ y $v$ satisface $\cos\theta = (u \cdot v) / (|u| |v|)$, con los ángulos dirigidos tratados como clases de equivalencia de rotaciones módulo $2\pi$.
Example
Cuando abres un libro, las dos tapas forman un ángulo; la esquina de un cuadrado es un ángulo de $90^\circ$, y un círculo completo es $360^\circ$. El ángulo $ABC$ tiene su vértice en $B$ con los rayos $BA$ y $BC$ como sus lados; para convertir entre unidades, $90^\circ = \pi/2$ radianes y $180^\circ = \pi$ radianes. El ángulo entre los vectores $u = (1,0)$ y $v = (1,1)$ es $\arccos((1\cdot1 + 0\cdot1) / (1 \cdot \sqrt{2})) = \arccos(1/\sqrt{2}) = 45^\circ = \pi/4$ radianes.
Key Insight
Los grados dividen una vuelta completa en $360$ partes iguales, una elección hecha por los antiguos astrónomos babilonios, que es la razón por la cual hay $360^\circ$ en un círculo. Los radianes son la unidad más natural matemáticamente: la medida en radianes de un ángulo es igual a la longitud del arco sobre un círculo unitario que subtiende ese ángulo, lo que la hace adimensional y esencial en cálculo, ya que las derivadas de las funciones trigonométricas dependen de los radianes. La fórmula del producto punto para ángulos se extiende a cualquier espacio con producto interno, definiendo "ángulo" en entornos abstractos como espacios de funciones, lo que sustenta el análisis de Fourier, donde la ortogonalidad de las funciones es análoga a la perpendicularidad de los vectores.