三角形内角和
sān jiǎo xíng nèi jiǎo hé
三角形内角和定理指出，任何三角形的三个内角之和总是恰好为 180 度。
Formula
\text{angle } A + \text{angle } B + \text{angle } C = 180^\circ
Definition
任何三角形内部的角之和总是恰好 $180^\circ$，这一事实被称为三角形内角和定理，是平行公设的直接推论(通过过一个顶点作平行于对边的直线，并利用内错角来证明)。如果你知道三角形的两个角，第三个角总是 $180^\circ$ 减去它们的和；同样的思路可以推广：任意 $n$ 边形的内角和为 $(n-2)\times180^\circ$，这是通过将该多边形分割成 $(n-2)$ 个三角形推导出来的。
Example
撕下纸三角形的三个角并把它们排成一排总是形成一条直线；角度为 $90^\circ$、$60^\circ$、$30^\circ$ 的三角形之和为 $180^\circ$。求角度为 $52^\circ$ 和 $73^\circ$ 的三角形的第三个角：$180-52-73=55^\circ$。在单位球面上，一个八分之一球面三角形(三个角都是 $90^\circ$)的内角和为 $270^\circ$，比 $\pi$ 超出 $\pi/2$，根据吉拉德定理，这与它的面积 $\pi/2$(球面的八分之一)相符。
Key Insight
$180^\circ$ 之和是平坦(欧几里得)空间的一个标志：在球面上，三角形内角和大于 $180^\circ$，在双曲空间中则更小，与 $180^\circ$ 的偏差度量着曲面的曲率。这将一个简单的课堂定理与宇宙本身的几何联系了起来，因为爱因斯坦的广义相对论正是利用这种非欧内角和偏差来定义时空曲率，这意味着围绕太阳画出的三角形内角和会与 $180^\circ$ 略有不同。