角平分线
jiǎo píng fēn xiàn
角平分线是将一个角分成两个全等角的射线。
Formula
\text{angle}_1 = \text{angle}_2 = (\text{original angle}) / 2
Definition
角平分线是从一个角的顶点出发、恰好将该角平分成两个全等角的一条射线("平分"意为分成两个相等的部分)。角平分线定理指出，在三角形中，一个角的平分线将对边分割成与相邻两边之比相同的两段，更一般地，角 $AOB$ 的平分线是到射线 $OA$ 和 $OB$ 距离相等的点的轨迹。
Example
如果一个角是 $60^\circ$，画出它的角平分线后，每一半是 $30^\circ$；在纸上把角的一条边折到另一条边上所形成的折痕就是角平分线。在三角形 $ABC$ 中，从 $A$ 出发的角平分线与 $BC$ 交于 $D$，得到 $BD/DC = AB/AC$：若 $AB=6$，$AC=4$，则 $BD/DC=3/2$，因此当 $BC=10$ 时，$BD=6$，$DC=4$。对于边长 $a=5$，$b=7$，$c=8$，$A=60^\circ$ 的三角形，从 $A$ 出发的角平分线长为 $t_a = (2\cdot7\cdot8/(7+8))\cos(30^\circ) = (112/15)(\sqrt{3}/2) = 56\sqrt{3}/15$。
Key Insight
任何三角形的三条角平分线总是交于一点，即内心，也就是三角形内切圆的圆心；内心到三边的距离相等，面积 $= r \times s$(其中 $s$ 为半周长)将其与三角形的量度联系起来。由于角平分线是到两条直线距离相等的点的轨迹，它自然地与垂直平分线(到两个点距离相等的点的轨迹)相对应；这两种轨迹共同构成了经典作图工具箱，以及三角形四个经典特殊点：内心、外心、重心和垂心。