Bisectriz de un Ángulo
Una bisectriz de un ángulo es un rayo que divide un ángulo en dos ángulos congruentes de igual medida.
Formula
\text{angle}_1 = \text{angle}_2 = (\text{original angle}) / 2
Definition
Una bisectriz de un ángulo es un rayo desde el vértice de un ángulo que lo corta exactamente por la mitad, dividiéndolo en dos ángulos congruentes ("bisecar" significa cortar en dos partes iguales). El Teorema de la Bisectriz del Ángulo establece que en un triángulo, la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en la razón de los lados adyacentes, y más en general, la bisectriz del ángulo $AOB$ es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los rayos $OA$ y $OB$.
Example
Si tienes un ángulo de $60^\circ$ y trazas su bisectriz, cada mitad es $30^\circ$; doblar un lado de un ángulo sobre el otro en papel crea un pliegue que es la bisectriz. En el triángulo $ABC$, la bisectriz desde $A$ se encuentra con $BC$ en $D$, dando $BD/DC = AB/AC$: si $AB=6$ y $AC=4$, entonces $BD/DC=3/2$, así que con $BC=10$, $BD=6$ y $DC=4$. Para un triángulo con $a=5$, $b=7$, $c=8$, $A=60^\circ$, la longitud de la bisectriz desde $A$ es $t_a = (2\cdot7\cdot8/(7+8))\cos(30^\circ) = (112/15)(\sqrt{3}/2) = 56\sqrt{3}/15$.
Key Insight
Las tres bisectrices de los ángulos de cualquier triángulo siempre se encuentran en un único punto, el incentro, el centro de la circunferencia que cabe dentro del triángulo; el incentro es equidistante de los tres lados, y Área $= r \times s$ (donde $s$ es el semiperímetro) lo conecta con las medidas del triángulo. Como la bisectriz es un lugar geométrico de puntos equidistantes de dos rectas, se empareja naturalmente con la mediatriz (lugar geométrico equidistante de dos puntos); juntos, estos dos lugares geométricos generan el conjunto clásico de herramientas de construcción y los cuatro centros clásicos del triángulo: incentro, circuncentro, centroide y ortocentro.