振幅
zhèn fú
振幅是周期函数偏离中线的最大位移，决定了波峰的高度和波谷的深度。
Formula
\text{amplitude} = |A| \text{ in } y = A\sin(Bx + C) + D
Definition
振幅是波从中线到最高点（或最低点）的高度；对基本正弦波而言，振幅为 $1$。对于 $y = A\sin(Bx + C) + D$ 或 $y = A\cos(Bx + C) + D$，振幅是 $|A|$，即从中线 $y = D$ 到最大值或最小值的距离，所以图像在 $D - |A|$ 与 $D + |A|$ 之间振荡，等价地 $|A| = (\max f - \min f)/2$。在信号处理中，振幅对应傅里叶系数的模：对于 $f(x) = \sum A_n \sin(nx + \phi_n)$，每个 $|A_n|$ 是第 $n$ 次谐波的振幅，根据帕塞瓦尔定理，总能量正比于 $\sum A_n^2$。
Example
$y = 3\sin(x)$ 的振幅为 $3$，在 $-3$ 到 $+3$ 之间变化，而 $y = -4\cos(2x) + 1$ 的振幅为 $4$，中线 $y = 1$，最大值 $5$，最小值 $-3$。一个频率为 $440$ Hz（A4 音）、振幅为 $0.8$ 帕的声波是 $p(t) = 0.8\sin(2\pi \cdot 440t)$；把振幅加倍到 $1.6$ 会使声强增加 $4$ 倍，因为声强与振幅的平方成正比。
Key Insight
可以把振幅想象成声波的音量或海浪的大小：振幅越大，上下摆动的幅度就越大，振幅始终为正（它是 $A$ 的绝对值），负的 $A$ 只是把图像上下翻转而不改变其大小。在量子力学中，波函数的振幅通过玻恩规则决定概率密度 $|\psi(x)|^2$，这使振幅在量子测量理论中处于核心地位。