加法逆元（相反数）
jiā fǎ nì yuán (xiāng fǎn shù)
一个数的加法逆元是与它相加能得到零的那个数，即该数的相反数。
Formula
a + (-a) = 0
Definition
一个数的加法逆元是它的相反数：与它相加能得到零的那个数。对任意实数 $a$，加法逆元为 $-a$，满足 $a + (-a) = 0$，它被用来定义减法，$a - b = a + (-b)$；加法逆元的加法逆元就是原数，$-(-a)=a$。在群 $(G,+)$ 中，$a$ 的加法逆元是唯一满足 $a + (-a) = 0$ 的元素 $-a$，其唯一性可这样说明：若 $a+b=0$ 且 $a+c=0$，则 $b = b+0 = b+(a+c) = (b+a)+c = 0+c = c$；映射 $a \to -a$ 是 $(G,+)$ 的一个群自同构（对合）。
Example
$6$ 的加法逆元是 $-6$，因为 $6+(-6)=0$；$-4$ 的加法逆元是 $4$。减去 $5$ 等同于加上它的加法逆元：$12 - 5 = 12 + (-5) = 7$。在 $\mathbb{R}^n$ 中，$(x_1,\ldots,x_n)$ 的加法逆元是 $(-x_1,\ldots,-x_n)$，在多项式环中，$p(x) = 3x^2 - x + 1$ 的加法逆元是 $-p(x) = -3x^2+x-1$。
Key Insight
每个数都恰好有一个加法逆元；它们成对出现，相加总能抵消为零，这正是负数上减法得以成立的原因，因为若没有加法逆元，你就无法在保持在原数系内的情况下用较小的数减去较大的数。加法逆元（负数）的存在，正是把群与幺半群、环与半环区分开来的性质：正整数构成一个没有加法逆元的半环，而整数构成一个环，这一扩张正是"发明负数"这一代数故事的核心。