Inverso Aditivo
El inverso aditivo de un número es el número que, sumado a él, da cero; es el opuesto o la negación del número.
Formula
a + (-a) = 0
Definition
El inverso aditivo de un número es su opuesto: el número que se le suma para obtener cero. Para cualquier número real $a$, el inverso aditivo es $-a$, satisfaciendo $a + (-a) = 0$, y se usa para definir la resta, $a - b = a + (-b)$; el inverso aditivo del inverso aditivo es el número original, $-(-a)=a$. En un grupo $(G,+)$, el inverso aditivo de $a$ es el único elemento $-a$ que satisface $a + (-a) = 0$, único porque si $a+b=0$ y $a+c=0$ entonces $b = b+0 = b+(a+c) = (b+a)+c = 0+c = c$; la función $a \to -a$ es un automorfismo de grupo (involución) de $(G,+)$.
Example
El inverso aditivo de $6$ es $-6$, porque $6+(-6)=0$; el inverso aditivo de $-4$ es $4$. Restar $5$ es lo mismo que sumar su inverso aditivo: $12 - 5 = 12 + (-5) = 7$. En $\mathbb{R}^n$, el inverso aditivo de $(x_1,\ldots,x_n)$ es $(-x_1,\ldots,-x_n)$, y en los anillos de polinomios el inverso aditivo de $p(x) = 3x^2 - x + 1$ es $-p(x) = -3x^2+x-1$.
Key Insight
Todo número tiene exactamente un inverso aditivo; vienen en pares que siempre se cancelan a cero, y esto es lo que hace posible la resta con números negativos, ya que sin ello no podrías restar un número mayor de uno menor y permanecer dentro de tu sistema numérico. La existencia de inversos aditivos (negativos) es precisamente la propiedad que distingue a los grupos de los monoides y a los anillos de los semianillos: los números naturales forman un semianillo sin inversos aditivos, mientras que los enteros forman un anillo, una extensión que es la historia algebraica de "inventar los números negativos".