Regla de la Suma (Probabilidad)
La regla de la suma da la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos eventos, considerando cualquier superposición entre ellos.
Formula
P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B)
Definition
La regla de la suma indica la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos eventos: si los eventos pueden suceder ambos al mismo tiempo, debes restar la superposición para que no se cuente dos veces. La regla general de la suma es $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B)$; para eventos mutuamente excluyentes, $P(A \text{ and } B) = 0$, así que $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$, y "o" en probabilidad siempre significa "al menos uno de," que es el o inclusivo. Formalmente, el principio de inclusión-exclusión generaliza esto: $P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum P(A_i) - \sum P(A_i \cap A_j) + \sum P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \ldots + (-1)^{n+1} P(A_1 \cap \ldots \cap A_n)$, alternando entre sumar y restar términos de intersección de orden creciente.
Example
En una clase donde $60\%$ juega fútbol, $40\%$ juega baloncesto, y $20\%$ juega ambos: $P(\text{soccer or basketball}) = 60\% + 40\% - 20\% = 80\%$, restando $20\%$ para que esos estudiantes no se cuenten dos veces. Al sacar una carta: $P(\text{heart or face card}) = 13/52+12/52-3/52 = 22/52 = 11/26$, restando las $3$ cartas de figura de corazones contadas en ambos grupos. La probabilidad de al menos un éxito en $n$ ensayos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad $p$ es $P(\text{at least one success}) = 1 - (1-p)^n$, la regla del complemento aplicada a la intersección de eventos de fracaso, más simple que la inclusión-exclusión directa para $n$ grande.
Key Insight
La resta evita el doble conteo: piensa en dos círculos superpuestos, sumar ambos círculos cuenta el centro dos veces, así que restas el centro una vez; para tres eventos, $P(A \text{ or } B \text{ or } C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A \text{ and } B) - P(A \text{ and } C) - P(B \text{ and } C) + P(A \text{ and } B \text{ and } C)$. Las desigualdades de Bonferroni proporcionan cotas usando sumas parciales de la fórmula de inclusión-exclusión: la suma de los primeros $2k-1$ términos es una cota superior y la suma de los primeros $2k$ términos es una cota inferior, permitiendo aproximaciones cuando la fórmula completa es computacionalmente intratable.