多项式加法
duō xiàng shì jiā fǎ
多项式加法是指合并两个或更多多项式中的同类项，得到一个化简后的多项式。
Definition
多项式加法是指把各个多项式中同类项（变量相同且次幂相同的项）合并，得到一个化简后的结果，其次数至多是各加数中最大的次数（如果最高次项相互抵消，次数还可能更小）。严格地说，多项式加法是一种向量空间运算：$F[x]$ 是 $F$ 上的一个向量空间，加法在系数向量 $(a_n, \ldots, a_0)$ 上按分量进行，因此次数至多为 $n$ 的多项式全体构成一个 $(n+1)$ 维子空间。
Example
$(3x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 5x + 4) = 4x^2 - 3x + 5$。$(2x^3 - x + 6) + (-2x^3 + 4x^2 + 3x - 1) = 4x^2 + 2x + 5$，注意 $x^3$ 项完全抵消，使次数降低了。把 $3x^2 + x - 2$ 表示为 $(3, 1, -2)$，把 $x^2 - 5$ 表示为 $(1, 0, -5)$，它们的和为 $(4, 1, -7)$，对应 $4x^2 + x - 7$。
Key Insight
只有同类项才能合并，$x^2$ 与 $x$ 不是同类项，因为它们的指数不同，这就像只能把苹果和苹果放在一起，而不能把苹果和橙子混在一起。用系数向量看待加法的方式，把多项式代数与线性代数联系了起来，使固定次数子空间上的多项式运算可以表示为函数空间上的矩阵运算。