Suma de Polinomios
Sumar polinomios significa combinar términos semejantes de dos o más polinomios para producir un único polinomio simplificado.
Definition
Sumar polinomios significa combinar términos semejantes, términos con la misma variable elevada a la misma potencia, de cada polinomio en un único resultado simplificado, cuyo grado es a lo sumo el mayor grado entre los sumandos (y puede ser menor si los términos de mayor grado se cancelan). Formalmente, la suma de polinomios es una operación de espacio vectorial: $F[x]$ es un espacio vectorial sobre $F$, y la suma actúa componente a componente sobre los vectores de coeficientes $(a_n, \ldots, a_0)$, así que el conjunto de polinomios de grado a lo sumo $n$ forma un subespacio de dimensión $(n+1)$.
Example
$(3x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 5x + 4) = 4x^2 - 3x + 5$. $(2x^3 - x + 6) + (-2x^3 + 4x^2 + 3x - 1) = 4x^2 + 2x + 5$, nota que los términos $x^3$ se cancelan por completo, reduciendo el grado. Al representar $3x^2 + x - 2$ como $(3, 1, -2)$ y $x^2 - 5$ como $(1, 0, -5)$, su suma es $(4, 1, -7)$, correspondiendo a $4x^2 + x - 7$.
Key Insight
Solo se pueden combinar términos semejantes, $x^2$ y $x$ no son términos semejantes porque sus exponentes difieren, algo similar a combinar manzanas con manzanas, no manzanas con naranjas. La visión de la suma como vectores de coeficientes conecta el álgebra de polinomios con el álgebra lineal, permitiendo que las operaciones polinómicas sobre un subespacio de grado fijo se representen como operaciones matriciales sobre espacios de funciones.