锐角三角形
ruì jiǎo sān jiǎo xíng
锐角三角形的三个内角都小于 90 度。
Formula
a^2 + b^2 > c^2 \text{ (for all three side combinations)}
Definition
锐角三角形的三个角都小于 $90^\circ$；等价地，对于边 $a, b, c$(其中 $c$ 最大)，三角形是锐角三角形，当且仅当对三边的所有三种组合都满足 $a^2+b^2>c^2$(相邻边向量的三个点积都为正)。等边三角形总是锐角三角形，它的外心、内心、重心和垂心都位于三角形内部；垂心 $H$、重心 $G$ 和外心 $O$ 共线于欧拉线上，且 $OG:GH = 1:2$。
Example
角度为 $60^\circ$、$70^\circ$、$50^\circ$ 的三角形是锐角三角形，因为都小于 $90^\circ$；只要有一个角达到 $90^\circ$ 或更大，它就不是锐角三角形。对于边长 $5, 6, 7$：最长边是 $7$，$5^2+6^2=61>49=7^2$，另外两项检验($25+49>36$，$36+49>25$)也都成立，确认所有角都是锐角。这样一个三角形的九点圆(半径 $R/2$)经过三边的中点、各高的垂足，以及各顶点到垂心连线的中点。
Key Insight
一个简便的检验方法：如果三个角看起来都很尖锐，都小于直角，那么这个三角形就是锐角三角形，锐角三角形的外心总是位于三角形内部。条件 $a^2+b^2>c^2$ 是严格的勾股不等式，说明直角三角形($a^2+b^2=c^2$)正是锐角三角形与钝角三角形之间的确切边界。欧拉线定理，即 $O$、$G$、$H$ 共线且 $OG:GH=1:2$，是三角形几何中最优美的结果之一，锐角三角形比钝角三角形拥有更丰富的内部特殊点，因为钝角三角形的外心会跑到三角形外面。