Triángulo Acutángulo
Un triángulo acutángulo tiene los tres ángulos interiores que miden menos de 90 grados.
Formula
a^2 + b^2 > c^2 \text{ (for all three side combinations)}
Definition
Un triángulo acutángulo tiene los tres ángulos menores de $90^\circ$; equivalentemente, para lados $a, b, c$ con $c$ el más largo, el triángulo es acutángulo si y solo si $a^2+b^2>c^2$ para las tres combinaciones de lados (los tres productos punto de los vectores de lado adyacentes son positivos). Un triángulo equilátero siempre es acutángulo, y su circuncentro, incentro, centroide y ortocentro están todos dentro del triángulo; el ortocentro $H$, el centroide $G$ y el circuncentro $O$ son colineales sobre la recta de Euler, con $OG:GH = 1:2$.
Example
Un triángulo con ángulos $60^\circ$, $70^\circ$ y $50^\circ$ es acutángulo ya que todos son menores de $90^\circ$; si incluso un ángulo llega a $90^\circ$ o más, no es acutángulo. Para lados $5, 6, 7$: el lado más largo es $7$, y $5^2+6^2=61>49=7^2$, con las otras dos verificaciones ($25+49>36$, $36+49>25$) también cumpliéndose, confirmando que todos los ángulos son agudos. La circunferencia de los nueve puntos (radio $R/2$) de tal triángulo pasa por los puntos medios de los lados, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos desde cada vértice hasta el ortocentro.
Key Insight
Una verificación fácil: si los tres ángulos se ven afilados, menores que la esquina de un ángulo recto, el triángulo es acutángulo, y el circuncentro de un triángulo acutángulo siempre está dentro de él. La condición $a^2+b^2>c^2$ es la desigualdad estricta de Pitágoras, mostrando que un triángulo rectángulo ($a^2+b^2=c^2$) es el límite exacto entre los triángulos acutángulos y obtusángulos. El teorema de la recta de Euler, que $O$, $G$, $H$ son colineales con $OG:GH=1:2$, es uno de los resultados más elegantes de la geometría del triángulo, y los triángulos acutángulos tienen un conjunto más rico de puntos interiores especiales que los obtusángulos, cuyo circuncentro sale del triángulo.