Definition

一个数的绝对值是它与零之间的距离，与方向无关，总是正数或零，用竖线表示：$|5| = 5$，$|-5| = 5$。对实数 $x$，若 $x \ge 0$ 则 $|x| = x$，若 $x < 0$ 则 $|x| = -x$，其关键性质包括 $|x| \ge 0$、$|xy| = |x||y|$，以及三角不等式 $|x + y| \le |x| + |y|$；$|x - y|$ 衡量的是 $x$ 与 $y$ 在数轴上的距离。更抽象地说，$|x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上定义了一个范数（$|x| \ge 0$；$|x| = 0$ 当且仅当 $x = 0$；$|cx| = |c||x|$；$|x+y| \le |x|+|y|$），由此生成度量 $d(x,y) = |x-y|$，使得 $\mathbb{R}$ 成为一个完备度量空间；在 $\mathbb{C}$ 中，对 $z = a+bi$，$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是欧几里得范数，而在 $\mathbb{Q}$ 上，$p$ 进绝对值 $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ 给出了一种完全不同的度量。