Valor Absoluto
El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en la recta numérica, siempre un resultado no negativo.
Formula
|x| = x \text{ if } x \ge 0; \ -x \text{ if } x < 0
Definition
El valor absoluto de un número es qué tan lejos está de cero, sin importar la dirección, siempre positivo o cero, escrito con barras verticales: $|5| = 5$ y $|-5| = 5$. Para un número real $x$, $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x < 0$, con propiedades clave $|x| \ge 0$, $|xy| = |x||y|$, y la desigualdad triangular $|x + y| \le |x| + |y|$; $|x - y|$ mide la distancia entre $x$ y $y$ en la recta numérica. De manera más abstracta, $|x|$ define una norma en $\mathbb{R}$ ($|x| \ge 0$, $|x| = 0$ si y solo si $x = 0$, $|cx| = |c||x|$, $|x+y| \le |x|+|y|$), generando la métrica $d(x,y) = |x-y|$ que hace de $\mathbb{R}$ un espacio métrico completo; en $\mathbb{C}$, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ para $z = a+bi$ es la norma euclidiana, mientras que en $\mathbb{Q}$ el valor absoluto $p$-ádico $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ da una métrica completamente distinta.
Example
$|-8| = 8$ ($8$ pasos desde el cero), $|3| = 3$, y $|0| = 0$; una temperatura de $-10$ grados y de $+10$ grados están ambas a $10$ grados de distancia de cero. $|5 - 12| = |-7| = 7$ (la distancia de $5$ a $12$), y $|(-3)(4)| = |-12| = 12 = |-3| \times |4|$. En la métrica $3$-ádica, la sucesión $1, 3, 9, 27, 81, \ldots$ converge a $0$ porque $|3^n|_3 = 3^{-n} \to 0$, y los números $p$-ádicos $\mathbb{Q}_p$ son la completación de $\mathbb{Q}$ bajo este valor absoluto, usados en toda la teoría de números moderna.
Key Insight
El valor absoluto es como preguntar "¿qué tan lejos?" y no "¿en qué dirección?" La desigualdad triangular es una de las desigualdades más importantes en matemáticas, generalizándose a vectores, funciones, y espacios métricos, y formando el fundamento de todo el análisis basado en distancias. El teorema de Ostrowski clasifica todos los valores absolutos en $\mathbb{Q}$: son exactamente el valor absoluto real, los valores absolutos $p$-ádicos, y el trivial, y la elección entre ellos determina toda la geometría de un sistema numérico.