绝对值方程
jué duì zhí fāng chéng
绝对值方程含有一个绝对值表达式，求解时需要分别考虑绝对值内表达式为正和为负两种情形。
Formula
|x| = a \text{ means } x = a \text{ or } x = -a
Definition
绝对值方程是表达式的一部分被绝对值符号包围的方程；由于绝对值衡量的是到零的距离，答案可能是正数，也可能是负数。求解 $|ax + b| = c$（其中 $c > 0$）时，令括号内的部分分别等于 $c$ 和 $-c$，并求解这两个方程；若 $c = 0$，则只有一个解；若 $c < 0$，则无解，因为绝对值永远不会是负数。严格地说，绝对值函数 $|x| = \sqrt{x^2}$ 是一个分段线性函数：$x \ge 0$ 时为 $x$，$x < 0$ 时为 $-x$，它是 $\mathbb{R}$ 上的标准度量：$d(a, b) = |a - b|$。绝对值方程 $|f(x)| = g(x)$ 等价于 $f(x) = g(x)$ 或 $f(x) = -g(x)$，且需满足 $g(x) \ge 0$；在赋范向量空间中，绝对值推广为范数。
Example
$|x| = 5$ 表示 $x$ 到零的距离是 $5$，所以 $x = 5$ 或 $x = -5$，因为在数轴上两者都恰好距零 $5$ 步。求解 $|2x - 3| = 7$：情形一，$2x - 3 = 7$ 得到 $x = 5$；情形二，$2x - 3 = -7$ 得到 $x = -2$。$|x - 3| < 2$ 转化为 $-2 < x - 3 < 2$，即 $1 < x < 5$，这是度量空间 $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ 中以 $3$ 为中心、半径为 $2$ 的开球。
Key Insight
绝对值给出的是距离，而距离永远不会是负数，所以任何形如 $|\text{expression}| = a$（其中 $a > 0$）的方程都有两个解；求解后务必把两个解都代回验证，并且在分情形讨论之前，先检查方程是否可能无解（右边为负数）。三角不等式 $|a + b| \le |a| + |b|$ 是范数的定义性质，每一个度量空间和赋范空间都是这一性质的推广，这使得绝对值方程成为一整套宏大理论的一维原型，也是实分析中 ε-δ 证明的基础。