Ecuación de Valor Absoluto
Una ecuación de valor absoluto contiene una expresión de valor absoluto y se resuelve considerando los casos positivo y negativo de la expresión dentro del valor absoluto.
Formula
|x| = a \text{ means } x = a \text{ or } x = -a
Definition
Una ecuación de valor absoluto tiene barras de valor absoluto alrededor de parte de la expresión; como el valor absoluto mide la distancia desde cero, la respuesta podría ser un número positivo o negativo. Para resolver $|ax + b| = c$ donde $c > 0$, iguala el interior a $c$ y a $-c$ y resuelve ambas ecuaciones; si $c = 0$ hay una solución, y si $c < 0$ no hay solución, ya que el valor absoluto nunca puede ser negativo. Formalmente, la función de valor absoluto $|x| = \sqrt{x^2}$ es una función lineal a trozos, $x$ si $x \ge 0$ y $-x$ si $x < 0$, y es la métrica estándar sobre $\mathbb{R}$: $d(a, b) = |a - b|$. Una ecuación de valor absoluto $|f(x)| = g(x)$ equivale a $f(x) = g(x)$ o $f(x) = -g(x)$, sujeto a $g(x) \ge 0$, y en los espacios vectoriales normados el valor absoluto se generaliza a la norma.
Example
$|x| = 5$ significa que $x$ está a $5$ unidades de cero, así que $x = 5$ o $x = -5$, ya que ambos están a $5$ pasos de distancia en la recta numérica. Resuelve $|2x - 3| = 7$: Caso 1, $2x - 3 = 7$ da $x = 5$; Caso 2, $2x - 3 = -7$ da $x = -2$. $|x - 3| < 2$ se traduce como $-2 < x - 3 < 2$, es decir, $1 < x < 5$, la bola abierta de radio $2$ centrada en $3$ en el espacio métrico $(\mathbb{R}, |\cdot|)$.
Key Insight
El valor absoluto da una distancia, y la distancia nunca es negativa, así que cualquier ecuación con $|\text{expression}| = a$ (donde $a > 0$) tiene dos soluciones; siempre comprueba ambas soluciones sustituyendo de nuevo, y verifica si la ecuación no tiene solución (lado derecho negativo) antes de dividir en casos. La desigualdad del triángulo $|a + b| \le |a| + |b|$ es la propiedad que define una norma, y todo espacio métrico y espacio normado generaliza esta propiedad, lo que hace que las ecuaciones de valor absoluto sean el prototipo unidimensional de una teoría vasta, fundamental para las demostraciones épsilon-delta en el análisis real.