昼夜
zhòu yè
昼夜是地球绕自转轴旋转造成的：地球上每一个地方都会每24小时轮流转向太阳，再转离太阳。
Definition
昼夜的产生是因为地球在自转：朝向太阳的一面是白天，背对太阳的一面是黑夜，随着地球不断转动，地球上的每一个地方都会轮流经历光明和黑暗。地球每 $24$ 小时自转一周，因此在任意时刻，地球都有一半被太阳照亮，另一半则处在自己的阴影之中；两者之间的分界线，也就是晨昏线，会随着地球自西向东转动而向西扫过地表。由于地球有 $23.5^\circ$ 的地轴倾角，某地白昼的长度会随纬度和季节而变化。定量地说，当太阳赤纬为 $\delta$ 时，纬度 $\phi$ 处的白昼长度由日出时角 $\cos H = -\tan\phi \tan\delta$ 决定，白昼时长为 $2H$（按每小时 $15^\circ$ 换算）；当 $|\tan\phi \tan\delta| > 1$ 时，就不会出现日出或日落，从而在纬度 $66.5^\circ$ 以上的地区出现极昼或极夜。大气折射会使太阳在地平线附近的位置抬高约半度，而曙暮光又会把可用光线延伸到几何日落之后，所以实际的白昼时长会比公式算出的稍长几分钟。
Example
当夏洛特是正午时，地球另一端的中国正是深夜；用手电筒照一个地球仪并转动它，就能直观地看到这一原理。夏洛特在夏至日大约有 $14.5$ 小时的白昼，冬至日则只有约 $9.8$ 小时；而赤道地区全年白昼都接近 $12$ 小时，北极圈内则在仲夏时太阳整整 $24$ 小时都不落下。以夏洛特（$\phi = 35^\circ$）为例进行计算，夏至日 $\delta = 23.5^\circ$：$\cos H = -\tan 35^\circ \tan 23.5^\circ \approx -0.304$，所以 $H \approx 107.7^\circ$，白昼时长为 $2 \times 107.7 / 15 \approx 14.4$ 小时。冬至日 $\delta = -23.5^\circ$，得到 $H \approx 72.3^\circ$，白昼约为 $9.6$ 小时。
Key Insight
太阳其实并不会真正升起或落下：清晨是地球转向了太阳，傍晚则是地球转离了太阳。昼夜是自转造成的，季节则是地轴倾斜加上公转共同造成的，学生常常把这两者混为一谈，但实际上即便地轴不倾斜、地球也不公转，昼夜的循环依然会存在。由于地球轨道是椭圆形的，加上地轴又是倾斜的，时差方程使得太阳时正午与钟表正午之间在一年之中最多可以相差约 $16$ 分钟。日晷与钟表之所以对不上，其根源在于轨道力学，而不是日晷本身出了问题。