零积性质
líng jī xìng zhì
零积性质指出，如果几个因子的乘积等于零，那么其中至少有一个因子必须为零。
Formula
If ab = 0, then a = 0 or b = 0
Definition
零积性质是指：如果两个数相乘等于零，那么其中至少有一个必须是零，你不可能把两个非零的数相乘得到零。严格地说，若 $ab = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$（或两者都为零），这一性质是求解因式分解后的方程所必需的，但它只适用于方程右边确实为零的情形。该性质在整环中成立，整环是一个含单位元的交换环 $R$，其中 $ab = 0$ 蕴含 $a = 0$ 或 $b = 0$；满足 $ab = 0$ 但 $a$、$b$ 都不为零的元素称为零因子。整数集 $\mathbb{Z}$ 和所有域都是整环，但环 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是，因为 $2 \times 3 = 0 \bmod 6$，而 $2$ 和 $3$ 都不是零。
Example
若 $n \times 5 = 0$，则 $n$ 必为 $0$。若 $(x - 3)(x + 2) = 0$，则 $x - 3 = 0$（即 $x = 3$）或 $x + 2 = 0$（即 $x = -2$）；这正是求解 $x^2 - x - 6 = 0$ 的方法，先因式分解为 $(x - 3)(x + 2) = 0$。在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$2 \times 3 = 6 = 0 \pmod{6}$，所以 $2$ 和 $3$ 是零因子，说明零积性质在此不成立，在这个环中通过因式分解解方程需要格外小心，并非总是有效。
Key Insight
零是唯一具有这种特殊"归零"能力的数，任何数乘以零都得零，所以求解时务必先把所有项移到一边、使方程等于零，再进行因式分解。整环正是零积性质普遍成立的交换环，这也正是多项式因式分解能够作为求根有效方法的原因。