Z 分数
Z fēn shù
Z 分数衡量一个数据值与均值相差多少个标准差，从而可以在不同分布之间进行比较。
Formula
z = \dfrac{x - \text{mean}}{\text{standard deviation}}
Definition
Z 分数告诉你一个值与平均值相差多少个标准差：Z 分数为 0 表示恰好等于平均值，正的 Z 分数表示高于平均值，负的表示低于平均值。形式上，$z = (x-\mu)/\sigma$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差（对样本数据则使用 $\bar{x}$ 和 $s$）；Z 分数将数据标准化为均值 $0$、标准差 $1$，从而支持跨不同尺度的比较。当 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 时，$z \sim N(0,1)$；对于样本均值，Z 分数 $z = (\bar{x}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})$ 对正态总体恰好服从 $N(0,1)$，对大样本则由中心极限定理近似成立，这是 z 检验和正态置信区间的基础。
Example
在一次均值为 $75$、标准差为 $10$ 的考试中，$90$ 分对应 $z = (90-75)/10 = 1.5$，$65$ 分对应 $z = (65-75)/10 = -1$，所以 $90$ 分高出平均值 $1.5$ 个标准差。玛丽亚在历史测验中得了 $82$ 分（均值 $70$，标准差 $8$，$z=1.5$），在科学测验中得了 $78$ 分（均值 $65$，标准差 $6.5$，$z=2.0$）；尽管科学分数在原始数值上更低，但相对表现更好。$\mu$ 的 $95\%$ 置信区间使用 $z^* = 1.96$：对于 $n=100$、$\bar{x}=52$、$\sigma=10$ 的样本，$CI = 52 \pm 1.96(10/10) = (50.04, 53.96)$。
Key Insight
Z 分数让你能够比较来自完全不同数据集的值：数学测验中 $+2$ 的 Z 分数和跑步用时中 $+2$ 的 Z 分数都意味着"相对于该组来说异常高"，Z 分数高于 $2$ 或低于 $-2$ 被认为是不寻常的（在正态分布中约有 $5\%$ 的概率），而高于 $3$ 或低于 $-3$ 则非常罕见（约 $0.3\%$）。概率积分变换指出，对连续型 $X$，$F(X) \sim \text{Uniform}(0,1)$；对正态分布的 $X$，这意味着 $\Phi(z) \sim \text{Uniform}(0,1)$，其中 $\Phi$ 是标准正态累积分布函数，这将 Z 分数与百分位数联系了起来。