维恩图
wéi ēn tú
维恩图是用矩形内重叠的圆圈来直观表示集合的方式,用于展示并集、交集和补集。
Definition
维恩图用重叠的圆圈来展示集合之间的关系：两个集合共有的元素画在重叠的中间区域，只属于一个集合的元素画在不重叠的部分。一个两集合的维恩图把全集 $U$ 分成四个区域：只在 $A$ 中、只在 $B$ 中、同时在两者中（$A \cap B$）、以及都不在（$A \cup B$ 的补集）；三集合的图会产生八个区域，它们被用来直观地验证或发现集合恒等式。$n$ 个集合的图需要为全部 $2^n$ 种可能的交集组合准备区域，当 $n \ge 4$ 时，构造有效的维恩图需要非圆形的形状；对于素数 $n$，对称的维恩图具有优雅的旋转对称性。
Example
画两个重叠的圆，分别标注"会游泳"和"会飞"：鸭子放在中间，鱼放在只会游泳的区域，鹰放在只会飞的区域。要验证德摩根定律 $(A \cup B)' = A' \cap B'$：先给 $A \cup B$ 涂色再取补集，另外分别给 $A'$ 和 $B'$ 涂色再取交集，两者产生的都是两个圆之外的同一个区域。$5$ 个集合的对称维恩图使用五个全等的椭圆，而 $n = 11$ 时，直到2004年才发现具有 $11$ 重旋转对称性的对称图。
Key Insight
维恩图让抽象的集合关系变得直观具体，是可视化逻辑和集合运算中使用最广泛的工具；它们通过数区域来证明恒等式，因为如果两个表达式总是给出相同的阴影区域，那么对所有集合 $A, B$，它们就是相等的。多集合维恩图在组合与几何上的复杂性，与图论（布尔格上的哈密顿回路）和组合数学都有联系。