方差
fāng chā
方差衡量数据值与均值之间距离平方的平均值，用以表示数据的分散程度。
Formula
s^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}
Definition
方差是一个衡量数据集中数值相对于平均值变化程度的数值：方差越大，数值就越分散。样本方差 $s^2 = \sum (x_i-\bar{x})^2/(n-1)$ 是相对于样本均值的平均平方离差，恒为非负，且只有当所有值都相同时才等于零；取其平方根即得到以原始单位表示的标准差。形式上，总体方差 $\sigma^2 = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - \mu^2$ 是分布的一个基本性质，样本方差是无偏的：$E[s^2] = \sigma^2$。在方差分析（ANOVA）中，总方差被分解为组间和组内两个成分，从而支持 F 检验。
Example
分数 $80$、$80$、$80$、$80$ 的方差为 $0$（没有分散），而分数 $60$、$70$、$90$、$100$ 的方差较大，因为它们远离均值 $80$。对于数据 $2$、$4$、$4$、$4$、$5$、$5$、$7$、$9$，均值为 $5$：平方离差 $9$、$1$、$1$、$1$、$0$、$0$、$4$、$16$ 之和为 $32$，得方差 $s^2 = 32/7 = 4.57$，标准差 $s = \sqrt{4.57} = 2.14$。全方差公式 $\text{Var}(Y) = E[\text{Var}(Y|X)] + \text{Var}(E[Y|X])$ 将方差分解为组内平均成分和组间成分，是随机效应模型和方差分析框架的基础。
Key Insight
方差和标准差都衡量分散程度，但标准差以原始单位表示（例如英寸或分数），更易于解释，而方差是以平方单位表示的；对离差取平方消除了负号，并且对较大的离差施加比较小离差更重的惩罚。克拉美-罗下界指出，$\theta$ 的任何无偏估计量的方差都不可能小于 $1/I(\theta)$，其中 $I(\theta)$ 是费舍尔信息量，对于正态数据，$s^2$ 恰好达到这一下界，使其成为 $\sigma^2$ 的最小方差无偏估计量（MVUE）。