全集
quán jí
全集是在给定语境中包含所有被考虑对象的集合,通常记作 U。
Definition
全集 $U$ 是某个问题的"世界"，包含你所考虑的一切可能元素，讨论中的每一个其他集合都是 $U$ 的子集。在给定的语境中，所有集合都满足 $A \subseteq U$，补集 $A' = U \setminus A$ 完全取决于 $U$ 是什么；不同的 $U$ 选择给出不同的补集。在朴素集合论中，"所有集合的集合"（全集 $V$）会导致罗素悖论，所以 ZFC 通过让 $V$ 成为一个真类而非集合来避免这一问题；在范畴论中，格罗滕迪克宇宙是一个足够大、能容纳所研究的所有数学对象的集合，为处理某种规模下"所有"集合提供了一个安全的语境。
Example
如果你按年级给学生分类，$U$ 可能是"学校里的所有学生"，每个子集（比如"九年级学生"）都生活在 $U$ 内部。若 $U = $ 整数，$A = $ 偶整数，则 $A' = $ 奇整数；但若 $U = $ 实数，$A = $ 有理数，则 $A' = $ 无理数，同一个 $A$，不同的 $U$，得到完全不同的补集。在 NBG（冯·诺依曼-伯奈斯-哥德尔）集合论中，像 $V$（所有集合）和 $\text{Ord}$（所有序数）这样的真类是存在的，但它们本身不能成为集合的元素，从而化解了悖论。
Key Insight
全集界定了讨论的边界；改变 $U$ 会改变任何集合的补集看起来是什么样，所以在处理补集之前，务必清楚地说明或确认 $U$，这是集合论问题中一个常见的出错来源。ZFC 中不存在全集并非一个缺陷，而是一个特点：它迫使人们对数学论证的范围保持精确，并促使了对大基数公理的研究。