两步方程
liǎng bù fāng chéng
两步方程需要恰好两次逆运算才能分离变量并求出解。
Definition
两步方程需要两步操作才能求解：先做加法或减法，再做乘法或除法（或者顺序相反），直到变量单独留下。两步方程是形如 $ax + b = c$ 的标准线性方程，需要用两次逆运算来分离变量：（1）先撤销加法或减法，（2）再撤销乘法或除法，始终按运算顺序的相反次序进行（先外层运算，再内层运算）。当 $a \neq 0$ 时，方程 $ax + b = c$ 在任何域上都有唯一解 $x = (c-b)/a$，其推导方法是先用 $b$ 的加法逆元，再用 $a$ 的乘法逆元，而这种解的存在性与唯一性正体现了域的公理。
Example
求解 $2x + 3 = 11$：两边同时减 $3$ 得到 $2x = 8$，再两边同时除以 $2$ 得到 $x = 4$。求解 $x/3 - 5 = 2$：两边同时加 $5$ 得到 $x/3 = 7$，再两边同时乘以 $3$ 得到 $x = 21$，验证 $21/3 - 5 = 2$。在 $\mathbb{Q}$ 上求解 $(3/4)x + 1/2 = 5/4$：减去 $1/2$ 得到 $(3/4)x = 3/4$，再乘以 $4/3$ 得到 $x = 1$。
Key Insight
可以把变量想象成被包裹了两层：先剥去外层，再剥去内层。在任何特征为 $0$ 的域上，两步方程的解都是唯一的；但在特征为素数 $p$ 的域上，当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时方程 $ax = b$ 无解，当 $a = 0$ 且 $b = 0$ 时每个元素都是解，这把实数情形下"无解／无穷多解"的情况做了推广。