三角比
sān jiǎo bǐ
三角比是直角三角形中两条边的比值，对应于某个特定的三角函数。
Definition
三角比是与某个给定角相关联的直角三角形两条边长的比值。这六种比值是 $\sin$、$\cos$、$\tan$、$\csc$、$\sec$ 和 $\cot$，由于相似三角形的边成比例，这些比值只取决于角度，与三角形的大小无关，这是 AA 相似定理的结果：所有共享一个锐角的直角三角形都是相似的，因此它们的边比相等。这种不变性使得函数 $\sin, \cos, \tan: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 可以通过单位圆或泰勒级数从锐角推广到所有实数。
Example
如果一个直角三角形的对边为 $3$、斜边为 $5$，那么该角的正弦比为 $3/5 = 0.6$；两个都含 $50^\circ$ 角的直角三角形，一个边长为 $6$-$7.7$-$10$，另一个为 $3$-$3.86$-$5$，两者都给出相同的比值 $\text{opposite}/\text{hypotenuse} = 0.6$，这印证了 $\sin(50^\circ) = 0.766$。恒等式 $\sin(\theta)/\cos(\theta) = \tan(\theta)$ 既是一个几何比值，也是两个解析函数之间的代数恒等式，这说明了几何与分析是如何统一起来的。
Key Insight
所有具有相同角度的三角形都拥有相同的三角比，即使大小相差悬殊，这个比值就像每个角度的指纹。三角比可以推广为单位双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 上的双曲比 $\sinh(t)/\cosh(t) = \tanh(t)$，这使双曲函数在闵可夫斯基几何中扮演的结构性角色，与三角比在欧几里得几何中的角色完全相同。