变换
biàn huàn
变换是一种规则，能把图形上的每一点移动、翻转、转动或缩放到新的位置。
Definition
变换是移动或改变一个图形的方式，遵循一个同时作用于图形每一点的规则；四种主要变换是平移（滑动）、反射（翻转）、旋转（转动）和位似（缩放），原图形称为原像，结果称为像。严格地说，几何变换是一个函数 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$：等距变换（平移、旋转、反射）保持距离和角度不变，位似变换保持角度不变但按恒定因子缩放距离，其他变换则可能使图形失真。在 $n$ 维空间中，线性变换 $T(x) = Ax$（可逆矩阵 $A$）构成群 $GL(n,\mathbb{R})$，仿射变换 $T(x) = Ax + b$ 构成仿射群，等距变换构成欧几里得群 $E(n)$；克莱因的埃尔朗根纲领把几何本身定义为研究在给定变换群下保持不变的性质。
Example
把一个三角形向右滑动 $5$ 格是平移；沿一条直线翻转它是反射；旋转 $90$ 度是旋转；把它拉伸到两倍大小是位似。变换 $f(x, y) = (x + 3, y - 2)$ 把每个点向右移动 $3$、向下移动 $2$，而 $f(x, y) = (-x, y)$ 则把每个点关于y轴反射。克莱因的埃尔朗根纲领按不变量群对几何进行分类：欧几里得几何在 $E(n)$ 下不变，仿射几何在仿射变换下不变，射影几何在射影变换下不变，各自拥有自己的不变量（距离、平行性、交比）。
Key Insight
变换就像给图形下达的指令：它们回答的是"如果我把这条规则应用到图形的每一个点上，每个点最终会落在哪里？"复合变换对应于函数的复合，所有刚体运动的集合在复合运算下构成一个群。费利克斯·克莱因1872年的埃尔朗根纲领把所有几何统一为研究变换群下不变量的学问，用一个统一的组织原则取代了各自为政的几何理论，如今这一原则贯穿现代几何学与物理学。