数值表
shù zhí biǎo
数值表是由方程或规则生成的输入（x）与输出（y）数对组成的表格，用于分析关系并绘制图像。
Definition
数值表列出满足某个规则或方程的成对数值：选取一些 $x$ 值，代入方程，记录得到的 $y$ 值，把一个抽象的方程变成一系列可以画在图上的具体的点。数值表中的规律揭示了这一关系的内在性质：差值恒定暗示是一次（线性）关系，二阶差值恒定暗示是二次关系，比值恒定则暗示是指数关系。严格地说，数值表是函数 $f: D \to \mathbb{R}$ 图像的一个有限取样，列出所选 $x_i \in D$ 对应的数对 $(x_i, f(x_i))$；数值方法用这样的表来近似函数和积分（例如黎曼和），而有限差分表则是牛顿插值法和拉格朗日插值法的基础。
Example
对于 $y = 2x + 1$：当 $x = 0$ 时，$y = 1$；当 $x = 1$ 时，$y = 3$；当 $x = 2$ 时，$y = 5$。对于 $y = x^2 - 2$：$x = -2$ 得 $y = 2$；$x = -1$ 得 $y = -1$；$x = 0$ 得 $y = -2$；表中的对称性反映了抛物线的对称轴。牛顿向前差分公式利用一张等间距的数值表来构造插值多项式：若 $f(0) = 1$，$f(1) = 4$，$f(2) = 9$，$f(3) = 16$，差分能揭示出其背后的多项式 $f(x) = (x+1)^2$。
Key Insight
数值表把一个抽象的方程变成一系列可以画在图上的具体的点。有限差分表是导数的离散类比：$n$ 阶有限差分对应连续情形下的 $n$ 阶导数，这把离散数值方法与微积分联系在了一起。