表面积
biǎo miàn jī
表面积是三维立体图形所有外表面的面积总和，用平方单位表示。
Formula
SA = \text{sum of all face areas}
Definition
表面积是覆盖三维图形外部的面积总量，就像测量无缝隙、无重叠地包住一个箱子所需的所有包装纸；它是（对于多面体）所有面的面积之和，或者（对于圆柱、球等曲面立体图形）外部曲面和平面部分的总面积，尽管图形是三维的，答案仍以平方单位表示。把立体图形展开成平面的展开图，可以一次性看到所有的面。对于用 $r(u, v)$ 参数化的光滑曲面，表面积为 $$A = \iint |r_u \times r_v| \, du \, dv,$$ 对于由 $z = f(x, y)$ 给出的曲面，这变为 $A = \iint \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dA$。
Example
边长为 $4$ cm 的正方体有 $6$ 个正方形面，每个面积为 $4 \times 4 = 16$ cm$^2$，总表面积为 $6 \times 16 = 96$ cm$^2$。一个 $5 \times 4 \times 3$ cm 的长方体，$SA = 2(5)(4) + 2(5)(3) + 2(4)(3) = 40 + 30 + 24 = 94$ cm$^2$。半径为 $r$ 的球的表面积，可以通过参数化 $(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)$ 求得，面积元为 $|r_\varphi \times r_\theta| = r^2\sin\varphi$，所以 $$A = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2\sin\varphi \, d\theta \, d\varphi = 4\pi r^2.$$
Key Insight
对细胞和生物体来说，表面积与体积之比决定了养分和氧气交换的效率；较小的细胞拥有更高的表面积与体积比，这就是细胞保持微小并通过分裂来生长的原因。三维等周不等式指出，在所有围成固定体积 $V$ 的曲面中，球的表面积最小，$A^3 \ge 36\pi V^2$，解释了为什么在没有外力作用时气泡和液滴呈球形。