一般式（线性）
yì bān shì (xiàn xìng)
线性方程的一般式为 Ax + By = C，其中 A、B、C 都是整数，且 A 为非负数。
Formula
Ax + By = C
Definition
一般式把直线写成 $Ax + By = C$，两个变量都在左边，常数在右边；严格地说，$A$、$B$、$C$ 都是整数，且 $A$ 大于或等于 $0$，$\gcd(A, B, C) = 1$。与偏重 $y$ 的斜截式不同，一般式对 $x$ 和 $y$ 一视同仁。从几何上看，它是 $\mathbb{R}^2$ 中超平面（直线）方程的法向式，其中向量 $(A, B)$ 是直线的法向量，点 $(x, y)$ 在直线上当且仅当 $(A, B) \cdot (x, y) = C$。
Example
对于 $2x + 3y = 12$，令 $y = 0$ 得到 x 轴截距 $x = 6$，令 $x = 0$ 得到 y 轴截距 $y = 4$。要把 $y = \frac{2}{3}x - 4$ 转换为一般式，把每一项都乘以 $3$ 得到 $3y = 2x - 12$，再移项并调整符号：$2x - 3y = 12$。对于两条直线 $2x + 3y = 6$ 和 $4x - y = 10$，写成矩阵形式 $[[2,3],[4,-1]][[x],[y]] = [[6],[10]]$，行列式 $2(-1) - 3(4) = -14$ 确认了解的唯一性。
Key Insight
一般式便于快速求截距，遮住一个变量就能看出直线与各坐标轴的交点，在方程组中也更受青睐，因为它把 x 的系数和 y 的系数整齐地排成两列，便于消元。这种法向量视角把一般式与点积，以及用克莱姆法则或行化简求解方程组联系了起来。