Función Senoidal
Una función senoidal es cualquier función que puede escribirse en la forma y = A*sin(Bx + C) + D o y = A*cos(Bx + C) + D, y representa una onda periódica suave.
Formula
y = A\sin(Bx + C) + D \text{ or } y = A\cos(Bx + C) + D
Definition
Una función senoidal es una onda suave y repetitiva descrita por el seno o el coseno, con la forma general $y = A\sin(Bx + C) + D$ (o el equivalente con coseno), donde $A$ escala verticalmente (amplitud), $B$ comprime horizontalmente (periodo), $C$ desplaza horizontalmente (desfase) y $D$ desplaza verticalmente (línea media); las versiones de seno y coseno son equivalentes, difiriendo solo por un desfase de $\pi/2$. Usando la representación de fasores, $A\,\text{Im}(e^{i(\omega x + \phi)}) + D$, una función senoidal pura tiene un espectro de Fourier que consiste exactamente en dos deltas de Dirac en las frecuencias $\pm\omega/(2\pi)$ con amplitudes complejas conjugadas.
Example
La altura del asiento de una rueda de la fortuna a lo largo del tiempo es senoidal: sube suavemente, alcanza la cima, baja suavemente, alcanza el fondo y se repite. Modelar la temperatura del agua de un lago con un máximo de $75^\circ$F en agosto y un mínimo de $45^\circ$F en febrero da amplitud $15$, línea media $60$ y periodo de $12$ meses: $T(t) = 15\sin(2\pi t/12 - \pi/2) + 60$. Superponer dos senoides cercanas, $\sin(\omega t) + \sin((\omega + \Delta\omega)t) = 2\cos(\Delta\omega t/2)\sin((\omega + \Delta\omega/2)t)$, produce un fenómeno de pulsación, el "wah-wah" audible que se escucha cuando dos instrumentos están ligeramente desafinados.
Key Insight
Las funciones senoidales modelan cualquier cosa que oscile suavemente, las mareas, la respiración, la electricidad de corriente alterna, los péndulos y la música, el ADN matemático del movimiento repetitivo; cualquier función senoidal puede escribirse como seno o coseno con un desfase apropiado, una cuestión de conveniencia más que de matemática. El teorema fundamental del análisis de Fourier establece que toda función "agradable" en un intervalo puede aproximarse mediante sumas de funciones senoidales, haciendo de la función senoidal el bloque de construcción universal de los fenómenos periódicos a través de la ingeniería eléctrica, la acústica, el modelado climático y la teoría cuántica de campos.