Simulación (Probabilidad)
Una simulación usa procesos aleatorios para modelar y estimar la probabilidad de eventos complejos de calcular analíticamente.
Definition
Una simulación es cuando usas un proceso aleatorio (como lanzar monedas, lanzar dados, o usar una computadora) para modelar una situación real y estimar probabilidades que son complejas de calcular analíticamente. Los generadores de números aleatorios, dados, ruletas, o tablas de números aleatorios pueden servir como herramientas de simulación; al ejecutar muchos ensayos, la probabilidad experimental de la simulación estima la verdadera probabilidad teórica. Formalmente, la simulación de Monte Carlo es un método computacional que usa el muestreo aleatorio para estimar cantidades matemáticas, incluyendo probabilidades, integrales, y soluciones de optimización: si $X$ es una variable aleatoria con $E[f(X)] = \mu$, entonces $(1/n)\sum f(X_i) \to \mu$ por la LGN, proporcionando un estimador con error estándar $\sigma_f/\sqrt{n}$.
Example
Para estimar la probabilidad de obtener al menos $3$ caras en $5$ lanzamientos, puedes lanzar una moneda $5$ veces, registrar el resultado, y repetir $100$ veces, usando la fracción de ensayos con $3$ o más caras para estimar la probabilidad. Simular el problema del cumpleaños, si al menos $2$ de $23$ personas comparten un cumpleaños, asignando cumpleaños aleatorios y verificando coincidencias en $10{,}000$ repeticiones da una probabilidad experimental cercana a la teórica de $0.507$. Estimar $\pi$ mediante Monte Carlo: genera $n$ puntos aleatorios $(x,y)$ uniformemente en $[0,1]^2$, cuenta los aciertos donde $x^2+y^2 \le 1$, y estima $\pi/4$ mediante la fracción de aciertos; para $n=10{,}000$, el error estándar es de aproximadamente $0.01$, así que $\pi$ se estima con aproximadamente $2$ decimales.
Key Insight
Las simulaciones son especialmente útiles cuando las matemáticas son demasiado complicadas: siempre puedes obtener una respuesta aproximada ejecutando el experimento muchas veces, y cuantos más ensayos ejecutes, más se acerca el resultado a la probabilidad verdadera (la ley de los grandes números). Los métodos de Monte Carlo con cadenas de Markov (MCMC) (Metropolis-Hastings, muestreo de Gibbs) extienden la simulación a distribuciones de alta dimensión donde el muestreo directo es imposible, construyendo una cadena de Markov cuya distribución estacionaria es la distribución objetivo y permitiendo el muestreo e integración de la posterior bayesiana.