最简形式
zuì jiǎn xíng shì
当分子和分母除1以外没有其他公因数时，这个分数就处于最简形式。
Formula
\frac{a}{b} \text{ where } \gcd(a,b) = 1
Definition
一个分数处于最简形式（也叫最简分数）时，除了$1$以外你无法用其他数同时整除分子和分母，这是这个分数最小、最"干净"的形式。形式上，当$\gcd(a, b) = 1$时，分数$a/b$处于最简形式，也就是说分子和分母互质，化简即用它们的最大公约数同时去除：$(a/\gcd)/(b/\gcd)$。有理数$a/b$的最简形式是其等价类中唯一满足$b' > 0$且$\gcd(a', b') = 1$的代表元$(a', b')$；其存在性和唯一性来自算术基本定理和最大公约数的性质。
Example
$6/8$不是最简形式，因为分子分母都能被$2$整除得到$3/4$，而$3/4$才是最简形式，因为$3$和$4$除了$1$以外没有公因数。要化简$36/48$：由于$36 = 2^2 \times 3^2$，$48 = 2^4 \times 3$，$\gcd(36,48) = 2^2 \times 3 = 12$，所以$36/48 = (36/12)/(48/12) = 3/4$。这个想法可以推广到整数之外：对于$\mathbb{Z}[i]$中的高斯整数分数$(a+bi)/(c+di)$，最简形式的类比要求用$\mathbb{Z}[i]$（一个欧几里得整环）中的最大公约数去除，使用范数函数$N(a+bi) = a^2+b^2$作为欧几里得算法中的"大小"。
Key Insight
最简形式让分数更容易理解和比较，这就像把地址写成"主街123号"而不是"主街246/2号"，同一个地方，但清楚得多。欧几里得算法即使对很大的数也能高效计算最大公约数（$\gcd(48, 36) = \gcd(36, 12) = \gcd(12, 0) = 12$），比列出所有因数的方法更快，它也是现代密码学密钥生成的基础。互质性（$\gcd = 1$）也直接决定了小数展开的循环节长度：$1/b$能终止当且仅当$b$只含有$2$和$5$作为质因数，否则循环节长度等于$10$对（去掉$2$和$5$后的$b$）取模的乘法阶。