Criterio de la Segunda Derivada
El criterio de la segunda derivada clasifica un punto crítico usando el signo de la segunda derivada: positivo significa mínimo local, negativo significa máximo local.
Formula
f'(c)=0: \text{ if } f''(c)>0 \text{ then min; if } f''(c)<0 \text{ then max}
Definition
En un punto crítico, el criterio de la segunda derivada revisa si la curva se curva hacia arriba o hacia abajo ahí: curvarse hacia arriba (segunda derivada positiva) significa un valle (mínimo local), curvarse hacia abajo (negativa) significa una cima (máximo local). Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, entonces $c$ es un mínimo local; si $f''(c) < 0$, un máximo local; si $f''(c) = 0$, el criterio no es concluyente y debes recurrir al criterio de la primera derivada o a derivadas superiores. En realidad es un caso especial de la expansión de Taylor alrededor de $c$: el signo de $f''(c)$ determina si el término cuadrático crea un mínimo o máximo local, y en cálculo multivariable el criterio usa los valores propios de la matriz Hessiana.
Example
Para $f(x) = x^2$: $f'(x) = 2x = 0$ en $x = 0$, y $f''(x) = 2 > 0$ en todas partes confirma un mínimo local. Para $f(x) = x^3 - 12x$: $f' = 3x^2 - 12 = 0$ en $x = \pm 2$, y $f'' = 6x$ da $f''(2) = 12 > 0$ (mínimo local) y $f''(-2) = -12 < 0$ (máximo local). En dos variables, en un punto crítico se calcula la Hessiana $H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}$: $\det(H) > 0$ con $f_{xx} > 0$ da un mínimo local, $\det(H) > 0$ con $f_{xx} < 0$ da un máximo local, y $\det(H) < 0$ da un punto silla.
Key Insight
Piensa en la concavidad: si la taza se abre hacia arriba en el punto crítico, estás en el fondo (mínimo); si se abre hacia abajo, estás en la cima (máximo). El criterio es rápido y limpio cuando funciona, pero falla cuando $f''(c) = 0$, así que el criterio de la primera derivada es el respaldo. La versión basada en la Hessiana se generaliza directamente a la optimización en el aprendizaje automático, donde métodos de segundo orden como el método de Newton y los métodos cuasi-Newton usan información de curvatura para converger más rápido que el descenso de gradiente.