样本空间
yàng běn kōng jiān
样本空间是概率实验所有可能结果的完整集合。
Definition
样本空间是一次实验所有可能结果的完整列表；它包含每一个可能发生的结果。样本空间 S（或 $\Omega$）是一次概率实验所有可能结果的集合；事件是 S 的子集，对于两个组合的实验，样本空间是各自样本空间的笛卡尔积。形式上，$\Omega$ 是概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 中的基础集合；它的结构决定了合适的 $\sigma$ 代数，对于有限或可数的 $\Omega$，幂集即可使用，而对于不可数的 $\Omega$（例如 $\mathbb{R}$），则需要博雷尔 $\sigma$ 代数以避免不可测集合，$\Omega$ 的选择隐含地编码了关于哪些结果是可能的全部建模假设。
Example
抛硬币的样本空间 $= \{\text{Heads}, \text{Tails}\}$；掷骰子的样本空间是 $\{1,2,3,4,5,6\}$；抛两枚硬币的样本空间是 $\{HH, HT, TH, TT\}$。同时抛一枚硬币和掷一个骰子的样本空间是 $\{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$，共 $12$ 个等可能的结果，因此 $P(H \text{ and } 3) = 1/12$。对于建模单次连续测量，$\Omega = \mathbb{R}$，配以博雷尔 $\sigma$ 代数 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 和基于勒贝格测度的度量；对于一系列抛硬币，$\Omega = \{0,1\}^\infty$（无穷乘积空间），配以乘积 $\sigma$ 代数，支持为所有柱集及其极限赋予概率。
Key Insight
在计算任何概率之前，你必须知道完整的样本空间，因为其中所有结果的概率之和必须为 1；当一个多阶段实验有很多分支时，画树状图是列出样本空间的一种实用技巧。柯尔莫哥洛夫延拓定理保证，一族一致的有限维分布能唯一确定无穷乘积空间上的一个概率测度，这为布朗运动等随机过程的严格处理提供了基础。