Redondeo
Redondear consiste en reemplazar un número por un valor cercano más sencillo o menos preciso, según un valor posicional especificado.
Definition
Redondear significa cambiar un número a un valor cercano y más sencillo: miras el dígito justo a la derecha del lugar al que estás redondeando, y redondeas hacia arriba si es $5$ o más, o mantienes el dígito igual si es menor que $5$. Más precisamente, redondear a un valor posicional específico reemplaza un número con el múltiplo más cercano de la potencia relevante de $10$ (u otra base); en el punto medio exacto, el redondeo estándar siempre redondea hacia arriba, mientras que el redondeo bancario (redondeo al par más cercano) redondea al dígito par más cercano en su lugar. Geométricamente, el redondeo corresponde a una proyección de $\mathbb{R}$ a un subconjunto discreto como $10^{-k} \cdot \mathbb{Z}$, y el análisis del error de redondeo es central en el análisis numérico: el estándar de punto flotante IEEE 754 especifica que cada operación se redondea al valor representable más cercano, con un error relativo acotado por el épsilon de máquina $\varepsilon = 2^{-52}$ para precisión doble.
Example
Redondear $347$ a la decena más cercana: el dígito de las unidades es $7 \ge 5$, así que se redondea hacia arriba a $350$; redondear $342$ a la decena más cercana y el dígito de las unidades $2$ redondea hacia abajo a $340$. Redondear $3.14159$ a $3$ decimales: la $4$.ª cifra decimal es $5$, así que se redondea hacia arriba a $3.142$; usando el redondeo bancario en $2.345$, el empate se resuelve hacia el dígito par, manteniéndolo en $2.344$. Los errores de redondeo acumulados pueden causar cancelación catastrófica: calcular $(1 + 10^{-16}) - 1$ en precisión doble devuelve $0$ porque $1 + 10^{-16}$ se redondea a $1.0000000000000002$, y la resta pierde todas las cifras significativas.
Key Insight
Redondear facilita el trabajo con números cuando no necesitas valores exactos; los precios, las distancias, y las poblaciones suelen reportarse como números redondeados. El redondeo bancario es estándar en la computación financiera y científica porque minimiza el sesgo sistemático cuando se redondean muchos valores, mientras que el redondeo estándar introduce un ligero sesgo hacia arriba. El algoritmo de suma de Kahan compensa el error de redondeo en sumas grandes rastreando un término de compensación en ejecución, mejorando la precisión de $O(n \cdot \varepsilon)$ a $O(\varepsilon)$ al sumar $n$ números de punto flotante.