根／零点
gēn/líng diǎn
多项式的根（或零点）是使该多项式等于零的 x 值，在图像上对应 x 轴截距。
Formula
f(x) = 0
Definition
多项式 $f(x)$ 的根，或称零点，是使它等于零的 x 值，即方程 $f(x) = 0$ 的解；在图像上，它们就是 x 轴截距，"零点"和"根"描述的其实是同一个概念，把一个根代入就会得到 $f(\text{root}) = 0$。根可以是有理数、无理数或复数，分解形式 $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ 直接展示了它们，把方程、函数和因式分解统一到同一种视角之中。严格地说，$F[x]$ 中 $f$ 的根 $r$ 满足在 $F$ 或某个扩域中 $f(r) = 0$，根据因式定理，$r$ 是根当且仅当 $(x - r)$ 整除 $f(x)$；根的重数是使 $(x - r)^k$ 整除 $f(x)$ 的最大 $k$，代数基本定理保证一个 $n$ 次多项式在 $\mathbb{C}$ 上恰好有 $n$ 个根（计入重数）。
Example
$f(x) = x^2 - 9$：解 $x^2 - 9 = 0$ 得到 $x = 3$ 或 $x = -3$，即图像与 x 轴相交的地方。$f(x) = 2x^2 - 8 = 2(x+2)(x-2)$ 的根为 $x = 2$ 和 $x = -2$。对 $f(x) = (x-2)^2(x+1)$ 而言，根 $x = 2$ 的重数为 $2$（二重根），$x = -1$ 的重数为 $1$；重数之和为 $3$，与 $f$ 的次数相符。
Key Insight
根把同一个多项式的三种视角联系了起来：作为待解的方程、作为函数的 x 轴截距、以及作为因式分解中的一次因式。根的重数决定了图像的局部行为：单重根穿过 x 轴，偶重根触碰 x 轴后弹回，奇重根穿过 x 轴但会变得平缓，这种区别在任何图像上都清晰可见，也是代数几何的基础。