参考角
cān kǎo jiǎo
参考角是标准位置角的终边与最近的 x 轴之间所形成的锐角。
Definition
参考角是标准位置角的终边与最近的 $x$ 轴之间所形成的锐角，介于 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之间。在每个象限中：Q1，$\text{ref} = \theta$；Q2，$\text{ref} = 180^\circ - \theta$；Q3，$\text{ref} = \theta - 180^\circ$；Q4，$\text{ref} = 360^\circ - \theta$。更精确地说，对于 $[0, 2\pi)$ 内的 $\theta$，参考角为 $\min(\theta \bmod \pi, \pi - (\theta \bmod \pi))$，这一概念也隐含在化简公式 $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$、$\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta)$ 等类似恒等式之中。
Example
$150^\circ$ 的参考角是 $30^\circ$（因为 $150^\circ$ 距离 $180^\circ$ 线正好 $30^\circ$），$210^\circ$ 的参考角也是 $30^\circ$。当 $\theta = 240^\circ$（第三象限）时，参考角 $= 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$；由于第三象限中 $\sin < 0$ 且 $\cos < 0$，所以 $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\sqrt{3}/2$。化简公式用参考角表示任意角度的三角值：$\sin(5\pi/6) = \sin(\pi - \pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$。
Key Insight
参考角让你可以利用已知的 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 角的三角值，求出任意象限中角的三角值：参考角决定大小，象限决定符号；这把一个 $360^\circ$ 的问题压缩成了一个 $90^\circ$ 的问题。参考角对应于二面体群作用在圆上的基本域：圆的八种对称性（反射以及 $\pi/2$ 整数倍的旋转）从单一区间 $[0, \pi/2]$ 生成了所有化简公式。