倒数恒等式
dào shù héng děng shì
倒数恒等式把余割、正割和余切分别表示为正弦、余弦和正切的倒数。
Formula
\csc = \frac{1}{\sin}, \quad \sec = \frac{1}{\cos}, \quad \cot = \frac{1}{\tan}
Definition
倒数恒等式把每个主要三角函数与它的倒数配对：$\csc(\theta) = 1/\sin(\theta)$，$\sec(\theta) = 1/\cos(\theta)$，$\cot(\theta) = 1/\tan(\theta)$。这些恒等式是根据次级三角函数的定义直接成立的，并非需要单独记忆的独立方程，六个三角函数构成三对倒数关系，反映了单位圆的对偶结构：对于圆上的点 $(x, y)$，六个值 $(y, 1/y, x, 1/x, y/x, x/y)$ 分别对应 $(\sin, \csc, \cos, \sec, \tan, \cot)$。
Example
如果 $\sin(\theta) = 3/4$，那么 $\csc(\theta) = 4/3$；如果 $\cos(\theta) = 5/13$，那么 $\sec(\theta) = 13/5$。化简 $\sec(x)\sin(x) = (1/\cos(x))\sin(x) = \tan(x)$ 用到了 sec 的倒数恒等式。三角函数的这种倒数配对也出现在离散傅里叶逆变换中，其合成公式使用的复指数正是分析公式中所用复指数的倒数。
Key Insight
"倒数"意味着分数上下颠倒：余割、正割和余切分别是正弦、余弦和正切的倒转版本，它们与各自伙伴的乘积始终等于 $1$。倒数恒等式反映了圆上的对合 $\theta \to -\theta$，因为 $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$，$1/\sin(-\theta) = -\csc(\theta)$；六个三角函数在这种对称性及其他对称性下组织成对，使阶为 $8$ 的二面体群自然地作用在这六个三角函数所构成的集合上。