比
bǐ
比是对两个数量的比较，表示一个值包含另一个值多少次，或被另一个值包含多少次。
Formula
a : b \text{ or } \frac{a}{b}
Definition
比是一种比较两个数量的方式，告诉你一个东西相对另一个东西有多少；可以用冒号表示（$3:4$），用分数表示（$3/4$），或用"比"这个字（$3$比$4$）。形式上，比$a:b$比较两个数量$a$和$b$（$b \neq 0$），表示$a$"包含"在$b$中多少次，或它们之间的分数关系，可以是部分对部分，也可以是部分对整体；等值比是通过将两项同时乘以相同的非零常数得到的。对于非零$b$，比$a:b$定义了$\mathbb{Q}$中的一个元素（有理数$a/b$），这一想法可以进一步推广：在射影几何中，四个共线点的交比是射影变换下的不变量，比也出现在谱理论中作为特征值之比。
Example
如果一个袋子里有$3$颗红色弹珠和$5$颗蓝色弹珠，红色与蓝色的比是$3:5$，每$3$颗红色弹珠对应$5$颗蓝色。一个用$2$杯面粉配$3$杯糖的食谱，比是$2:3$；放大$4$倍得到等值比$8:12$，三项比如$2:3:5$把总数$10$份分成分数$2/10$、$3/10$、$5/10$。黄金比$\varphi = (1+\sqrt{5})/2$满足$\varphi:1 = (1+\varphi):\varphi$，意味着边长比为$\varphi:1$的矩形在移除一个正方形后仍保持相同的比，这种自相似性质正是它出现在斐波那契数列和自然生长模式中的原因。
Key Insight
比无处不在，食谱、地图、比赛比分、调色，与单纯的减法比较（"多$3$个"）不同，比展示的是数量之间的乘法关系。比$a:b$和分数$a/b$包含相同的信息，但比强调的是两个独立数量之间的关系，而分数强调的是部分对整体的关系，理解这两种解释对比例推理都至关重要。射影直线$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$由满足$(a,b) \sim (ka,kb)$（$k \neq 0$）的数对$(a,b)$的等价类组成，这正是比的定义，揭示了初等分数算术与透视几何之间的深刻联系。