Muestra Aleatoria
Una muestra aleatoria es un subconjunto de una población en el que cada miembro tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.
Definition
Una muestra aleatoria significa que todos en un grupo tienen la misma probabilidad justa de ser elegidos para un estudio, como sacar nombres de un sombrero. Formalmente, una muestra aleatoria simple (MAS) es una muestra extraída de tal forma que toda muestra posible de tamaño $n$ tiene la misma probabilidad de ser seleccionada, lo cual reduce el sesgo y asegura que los estadísticos muestrales sean estimadores válidos de los parámetros poblacionales. En una población finita de tamaño $N$, cada subconjunto de tamaño $n$ tiene probabilidad $1/\binom{N}{n}$ de ser la muestra; bajo supuestos i.i.d., los estadísticos muestrales son estimadores insesgados y se aplica el teorema del límite central, justificando la inferencia basada en la normal.
Example
Un maestro que escribe el nombre de cada estudiante en un papelito, los mezcla y saca $10$ nombres para encuestar está usando una muestra aleatoria. Una escuela podría asignar a cada uno de sus $800$ estudiantes un número del $1$ al $800$ y usar un generador de números aleatorios para elegir $80$ números, formando una muestra aleatoria simple para un estudio sobre hábitos de estudio. El muestreo aleatorio estratificado divide la población en $H$ estratos y extrae una MAS de tamaño $n_h$ de cada uno; el estimador estratificado tiene menor varianza que el de la MAS cuando la varianza dentro de los estratos es pequeña en relación con la varianza entre estratos.
Key Insight
La selección aleatoria es la mejor manera de evitar el sesgo: cuando la selección es aleatoria, es probable que la muestra refleje justamente a toda la población. Otros métodos incluyen el muestreo estratificado (dividiendo primero en subgrupos), el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático, cada uno con ventajas y desventajas en costo, precisión y factibilidad. La teoría del muestreo de encuestas (Cochran, 1977) extiende estas ideas a diseños complejos con probabilidades desiguales, requiriendo pesos de diseño en la estimación para mantener el no sesgo.