商
shāng
商是把一个数除以另一个数所得到的结果。
Formula
\text{dividend} / \text{divisor} = \text{quotient}
Definition
商是把一个数除以另一个数所得到的结果；$a$ 除以 $b$（$b \neq 0$）的商为 $a / b$，对整数而言，商 $q$ 与余数 $r$ 满足 $a = bq + r$，且 $0 \le r < |b|$。在抽象代数中，商结构是通过用等价关系对一个集合进行划分而形成的：商环 $R/I$ 是用理想 $I$ 去"除"环 $R$ 而得到的，商群 $G/N$ 是用正规子群 $N$ 去"除"群 $G$ 而得到的，把数的除法推广到了整个结构层面。
Example
在 $20 / 5 = 4$ 中，商是 $4$。对于 $17 / 5$：整数商为 $3$（余数为 $2$），而实数商为 $3.4$，验证可知 $5 \times 3.4 = 17$；清楚需要哪一种商很重要，在编程中，整数除法与浮点数除法的行为并不相同。$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$（模 $5$ 的整数）就是 $\mathbb{Z}$ 除以理想 $5\mathbb{Z}$ 所得的商环，其元素为等价类 $\{0,1,2,3,4\}$，运算按模 $5$ 进行。
Key Insight
商告诉你每一等份的大小，或者说除数能装入被除数多少次。商结构是代数中最强大的工具之一：它把一个复杂的结构通过等价关系"坍缩"，从而显现出更简单的结构；伽罗瓦理论正是通过商群对域扩张进行分类，最终证明了哪些多项式方程可以用根式求解。