对数的商的法则
duì shù de shāng de fǎ zé
对数的商的法则指出,一个商的对数等于分子的对数减去分母的对数。
Formula
\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)
Definition
商的法则说明，一个分数的对数等于分子的对数减去分母的对数：对有效底数 $b$ 和正数 $x, y$，$\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)$。这是因为 $x/y = b^m / b^n = b^{m-n}$，其中 $m = \log_b(x)$，$n = \log_b(y)$；实际上这只是把积的法则应用于倒数：$\log(x/y) = \log(x \cdot y^{-1}) = \log(x) + \log(y^{-1}) = \log(x) - \log(y)$，所以你只需要记住积的法则。在调和分析中，对数导数 $d/dx[\ln(f(x))] = f'(x)/f(x)$ 把 $f$ 的乘性变化转化为加性变化，这在分析函数的乘积时很有用。
Example
$\log_{10}(1000/10) = \log_{10}(1000) - \log_{10}(10) = 3 - 1 = 2$，与 $\log_{10}(100) = 2$ 相符。合并 $\ln(x^2) - \ln(y^3) = \ln(x^2/y^3)$，展开 $\log_5((x+1)/(x-2)) = \log_5(x+1) - \log_5(x-2)$（由于这些参数不是乘积或商的形式，无法进一步化简）。函数 $f(x) = x^a \cdot e^{bx}$ 的对数导数是 $f'(x)/f(x) = a/x + b$，把它的增长分解为一个幂律成分和一个指数成分，可以分别识别出来。
Key Insight
括号内相除变成括号外相减，这映照了在指数的世界中除法与乘法分别对应减法与加法的关系。对数微分法利用商的法则来简化复杂的积与商的导数：对于 $f = \text{numerator}/\text{denominator}$，$\ln|f| = \ln|\text{numerator}| - \ln|\text{denominator}|$，求导后得到一个更简单的项的和。