四分位数
sì fēn wèi shù
四分位数把数据集分成四等份，Q1、Q2（中位数）和 Q3 标出各部分的边界。
Definition
四分位数是把排序后的数据集分成四等份的三个值：$Q_1$ 是低于前 $25\%$ 的边界，$Q_2$ 是中位数（$50\%$），$Q_3$ 是低于前 $75\%$ 的边界。$Q_1$ 是下半部分的中位数，$Q_3$ 是上半部分的中位数，不过不同的方法（是否将中位数本身纳入上下两半）可能会给出略有不同的结果。形式上，四分位数是分位数的特例：$Q_1 = F^{-1}(0.25)$，$Q_2 = F^{-1}(0.50)$，$Q_3 = F^{-1}(0.75)$；对于有限样本，分位数的计算使用插值法，R 语言实现了九种不同的分位数算法（类型 $1$ 到 $9$），默认为类型 $7$（顺序统计量的线性插值）。
Example
排序后的分数 $10$、$20$、$30$、$40$、$50$、$60$、$70$、$80$ 给出 $Q_1 = 25$（第一和第二四分之一之间的边界）、$Q_2 = 45$（中位数）以及 $Q_3 = 65$（第三和第四四分之一之间的边界）。对于数据 $3$、$5$、$7$、$8$、$9$、$11$、$14$、$16$、$21$：中位数（$Q_2$）$= 9$；下半部分 $3$、$5$、$7$、$8$ 给出 $Q_1 = (5+7)/2 = 6$；上半部分 $11$、$14$、$16$、$21$ 给出 $Q_3 = (14+16)/2 = 15$；因此 $\text{IQR} = 15 - 6 = 9$。对于标准正态分布，$Q_1 = -0.6745$，$Q_2 = 0$，$Q_3 = 0.6745$，得 $\text{IQR} = 1.349$，这些精确值用于校准正态数据的稳健尺度估计量。
Key Insight
可以把四分位数想象成按身高把一排学生分成四个人数相等的组，$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$ 就是三个分界点；连同 IQR 一起，五数概括（最小值、$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、最大值）以简洁的方式捕捉了一个分布的形状，且不受异常值影响。样本第 $p$ 分位数的渐近方差为 $p(1-p)/(nf(Q_p)^2)$，其中 $f$ 是概率密度函数，这表明极端处（$p$ 接近 $0$ 或 $1$）的分位数估计精度较低，这也解释了为什么极端百分位数需要大得多的样本才能可靠估计。