积
jī
积是把两个或更多个数相乘所得到的结果。
Formula
a \times b = \text{product}
Definition
积是把两个或更多个数相乘所得到的结果，写作 $a \times b$ 或 $a \cdot b$，在代数中也常简写为 $ab$；任何数与 $0$ 的积都是 $0$，任何数与 $1$ 的积都是该数本身。在环 $(R, +, *)$ 中，积由乘法运算 $*$ 定义，而"积"这一概念的推广远远超出了数的范围：集合的笛卡尔积、向量空间的张量积以及群的直积，都与数的积在结构上有共通之处。
Example
在 $6 \times 7 = 42$ 中，积是 $42$，正如和永远是加法的结果一样。前 $5$ 个正整数的积 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$，用阶乘记号写作 $5!$，而连乘记号将其推广为 $\prod_{k=1}^{n} k = n!$。对任意 $n$，$0 \times n = 0$ 体现了零的吸收性，这意味着只要有一个因数为零，无论还有多少其他因数，整个积都会是零。
Key Insight
积永远是乘法运算的结果。可乘性，即对互质的 $m$、$n$ 满足 $f(mn) = f(m)f(n)$ 这一性质，是数论中的核心主题：欧拉乘积公式把黎曼 $\zeta$ 函数表示为对所有质数的连乘积，把乘法直接与质数分布联系起来，而欧拉 $\phi$ 函数（当 $\gcd(m,n)=1$ 时 $\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$）正是这一思想的重要例证。