对数的积的法则
duì shù de jī de fǎ zé
对数的积的法则指出,一个积的对数等于各因子对数之和。
Formula
\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)
Definition
积的法则说明，一个积的对数等于各个对数之和：对任意有效底数 $b$ 和正数 $x, y$，$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$。这是因为 $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$：若 $\log_b(x) = m$，$\log_b(y) = n$，则 $xy = b^m \cdot b^n = b^{m+n}$，所以 $\log_b(xy) = m + n$。更深层地说，积的法则正是对数作为从 $(\mathbb{R}^+, \times)$ 到 $(\mathbb{R}, +)$ 的群同态的定义性质，任何满足 $f(xy) = f(x) + f(y)$ 的连续（甚至仅是可测）函数都必须是对数，这是柯西函数方程的一个推论；若不加正则性条件，通过 $\mathbb{R}$ 关于 $\mathbb{Q}$ 的哈默尔基可以构造出病态的解。
Example
$\log_2(4 \times 8) = \log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5$，与 $\log_2(32) = 5$（因为 $2^5 = 32$）相符。要解 $\ln(x) + \ln(x - 3) = \ln(10)$：合并为 $\ln(x(x-3)) = \ln(10)$，所以 $x(x-3) = 10$，得到 $x^2 - 3x - 10 = 0$，$(x-5)(x+2) = 0$，由于定义域要求 $x > 3$，所以 $x = 5$。积的法则给出 $\log(n!) = \sum_{k=1}^{n} \log(k)$，使得能够通过对数的积分推导斯特林近似，把离散的积（阶乘）与连续分析（积分）联系起来。
Key Insight
这条法则正是对数表几个世纪以来一直有用的原因：要把两个大数相乘，只需查出它们的对数、相加，再查出这个和的反对数，把乘法方程变成了更容易求解的加法方程；这正是计算尺的工作原理，通过对数刻度长度的物理相加来完成乘法运算。