幂
mì
幂是把一个底数按指定的次数自乘所得到的结果，写作 $\text{base}^{\text{exponent}}$。
Formula
b^n \ (\text{read: "}b\text{ to the }n\text{th power"})
Definition
幂是把一个数（底数）与自身相乘若干次所得到的结果；表达式 $\text{base}^{\text{exponent}}$ 本身也被称为幂，是重复乘法的简写。较小的指数有专门的名称：$n=2$ 称为"平方"，$n=3$ 称为"立方"，$n=1$ 就是该数本身，$n=0$ 时（$b\neq0$）结果为 $1$。在代数中，幂单项式 $x^n$ 是多项式环 $R[x]$ 的一个基元素，幂函数 $f(x)=x^n$ 满足幂法则 $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$；幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 把这一概念加以推广，用来表示诸如 $e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \ldots$ 这样的函数，对所有实数（乃至复数）$x$ 都收敛。
Example
$3^4 = 81$ 是一个幂，读作"$3$ 的四次方"，$10^2 = 100$ 读作"$10$ 的平方"。$2$ 的幂在计算机科学中随处可见，例如一个字节有 $2^8 = 256$ 个不同的取值，而 $10$ 的幂则定义了公制词头（$10^3 = $ 千，$10^6 = $ 兆，$10^9 = $ 吉）以及我们数系中的位值。棋盘与麦粒的故事生动地展示了幂增长的速度之快：$2^{64} - 1 \sim 1.8 \times 10^{19}$ 粒，远远超出任何现实中的供应量。
Key Insight
$10$ 的幂尤其重要：每增加一次幂就多加一个零，这是我们整个数系的基础。倍增问题总是涉及 $2$ 的幂，其增长速度远超直觉。幂级数是解析函数的通用语言：任何可以表示为幂级数的光滑函数都可以逐项求导和积分，这使幂级数在微分方程、物理学和工程学中占据核心地位。