Líneas Perpendiculares (Álgebra)
Las líneas perpendiculares se intersecan formando un ángulo de 90 grados, y en álgebra sus pendientes son recíprocos negativos entre sí.
Formula
m_1 \cdot m_2 = -1
Definition
Las líneas perpendiculares se cruzan formando un ángulo recto perfecto, como la esquina de un cuadrado; algebraicamente, dos líneas con pendientes $m_1$ y $m_2$ son perpendiculares exactamente cuando $m_1 \cdot m_2 = -1$, así que $m_2$ es el recíproco negativo de $m_1$ (invierte la fracción y cambia el signo). Una línea horizontal ($m = 0$) es perpendicular a cualquier línea vertical (pendiente indefinida), y las líneas perpendiculares siempre se intersecan. De manera más general, dos líneas son perpendiculares exactamente cuando sus vectores direccionales tienen producto punto igual a cero: para $(1, m_1)$ y $(1, m_2)$, esto requiere $(1)(1) + m_1m_2 = 0$, dando $m_1m_2 = -1$, una condición que se generaliza a la ortogonalidad de subespacios en $\mathbb{R}^n$.
Example
$y = 2x + 1$ tiene pendiente $2$, así que una línea perpendicular tiene pendiente $-1/2$; comprueba $2 \cdot (-1/2) = -1$, dando un ejemplo como $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Para $3x - 4y = 12$ con pendiente $3/4$, la pendiente perpendicular es $-4/3$, dando una línea perpendicular que pasa por $(0, 5)$: $y = -\frac{4}{3}x + 5$. Las líneas $2x - 3y = 5$ (vector direccional $(3, 2)$) y $3x + 2y = 7$ (vector direccional $(2, -3)$) tienen producto punto $(3)(2) + (2)(-3) = 0$, confirmando la perpendicularidad.
Key Insight
Para hallar una pendiente perpendicular, invierte la fracción y cambia el signo: la pendiente $3$ se convierte en $-1/3$, la pendiente $-4/5$ se convierte en $5/4$. Esta regla del producto constante te permite comprobar de inmediato si dos líneas se encuentran en ángulo recto sin medir nada, y la misma condición, la ortogonalidad de los vectores direccionales, es central en los espacios con producto interno, la ortogonalización de Gram-Schmidt, y la descomposición QR en álgebra lineal.