完全平方三项式
wán quán píng fāng sān xiàng shì
完全平方三项式是等于某个二项式平方的三项式，遵循 $a^2 + 2ab + b^2$ 或 $a^2 - 2ab + b^2$ 的模式。
Formula
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
Definition
完全平方三项式是能分解为一个二项式平方的三项式，遵循模式 $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$（当中间项为负时是 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$）。识别方法：检查首项和末项是否都是完全平方数，且中间项恰好是它们平方根之积的两倍。严格地说，二次式 $f = ax^2 + bx + c$ 是完全平方式，当且仅当它的判别式 $b^2 - 4ac$ 等于零，意味着该二次式有一个重根，分解形式为 $a(x - r)^2$，其中 $r = -b/(2a)$，这是求根公式的退化情形，此时抛物线恰好在一点上与 x 轴相切。
Example
$x^2 + 6x + 9$：首项为 $x^2$，末项为 $9 = 3^2$，中间项 $6x = 2 \cdot x \cdot 3$ 相符，所以这就是 $(x + 3)^2$。$9x^2 - 24x + 16$：$\sqrt{9x^2} = 3x$，$\sqrt{16} = 4$，且 $2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x$ 相符，得到 $(3x - 4)^2$。$4x^2 - 20x + 25$ 的判别式为 $400 - 400 = 0$，根为 $x = 5/2$，分解为 $(2x - 5)^2$。
Key Insight
快速检验的方法：对首项开平方，对末项开平方，看看它们乘积的两倍是否等于中间项。识别这一模式比使用 ac 法或求根公式更省时间，它也自然地出现在配方法和顶点式中。完全平方三项式在代数上对应重根，在几何上对应切点，在代数几何中，根的重数对曲线的局部行为有着深远的影响。