完全立方数
wán quán lì fāng shù
完全立方数是某个整数与自身相乘三次所得到的整数。
Formula
n^3 = n \times n \times n
Definition
完全立方数是把一个整数与自身相乘、再与自身相乘一次所得到的数，可以用一个立方体形状的排列来表示。形式上，它是形如 $n^3$（$n$ 为整数）的整数；与完全平方数不同，完全立方数可以是负数，因为 $(-3)^3 = -27$，完全立方数的立方根总是整数。整数 $n$ 是完全立方数，当且仅当它的质因数分解中每个指数都能被 $3$ 整除；这与华林问题相关，该问题询问最小的 $g(k)$，使得每个正整数都能表示为至多 $g(k)$ 个完全 $k$ 次幂之和，对于立方数而言 $g(3) = 9$。
Example
$27$ 是完全立方数，因为 $3 \times 3 \times 3 = 27$；其他例子还有 $1, 8, 27, 64, 125, 216$。$-64$ 是完全立方数吗？$(-4)^3 = -64$，是的；$50$ 呢？它的立方根约为 $3.68$，不是整数，所以不是。$23$ 需要用到华林问题所允许的全部 $9$ 个立方数：$23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1$，是最难以经济方式表示的情形之一。
Key Insight
可以把完全立方数想象成由小方块搭成的三维立方体：$27$ 个小方块可以搭成一个 $3\times3\times3$ 的立方体。完全立方数可以为负，是因为奇数个负因数相乘会得到负结果，这与永远非负的完全平方数不同。费马大定理（怀尔斯，1995年）证明了 $a^n + b^n = c^n$ 在 $n \ge 3$ 时没有正整数解；$n=3$ 的情形最早由欧拉证明，而把数表示为若干立方数之和这一更广泛的问题，与解析数论中的深刻结果相关联。