规律
guī lǜ
规律是按照统一法则排列的一串数字、图形或事件，据此可以预测下一项。
Definition
规律是按照某种一致的法则重复或增长的数列；一旦找到这条法则，就能预测数列中任意一项。常见的类型包括等差规律（差值恒定）、等比规律（比值恒定）以及其他代数法则，第 $n$ 项常常可以用一个公式表示，这比逐项列出要强大得多，因为它能让你直接跳到任意一项。严格地说，数列是一个函数 $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$（或映射到另一个集合），而规律则是由递推关系（如 $a_{n+1} = a_n + d$）或闭式公式（如 $a_n = a_1 + (n-1)d$）定义的数列；生成函数把整个数列编码为一个幂级数的系数，从而能借助复分析和组合数学做强有力的分析。
Example
$2, 5, 8, 11, 14, \ldots$：每个数都比前一个大 $3$，所以法则是"加 $3$"，下一项应为 $17$。规律 $1, 4, 9, 16, 25$ 遵循法则 $a_n = n^2$，而 $3, 6, 12, 24$ 遵循 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$（等比数列，公比为 $2$）。斐波那契数列由递推关系 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$（$a_1 = a_2 = 1$）定义，其闭式公式（比内公式）为 $a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt{5}$，其中 $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$ 是黄金比例。
Key Insight
规律在自然界和数学中无处不在，精确地识别并描述它们，是写出代数公式的第一步。生成函数把数列分析转化为函数分析：斐波那契数列的生成函数 $F(x) = x/(1 - x - x^2)$ 把所有斐波那契数编码为系数，对 $F(x)$ 做部分分式分解便可得到比内公式。