部分和
bù fèn hé
部分和是数列开头有限多项的和,用于研究无穷级数。
Formula
S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
Definition
部分和是一个数列前面若干项的和，而不是整个无穷数列的和，你在第 $n$ 项之后就停止。第 $n$ 个部分和是 $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$，如果部分和数列 $\{S_n\}$ 有极限 $L$，一个无穷级数就收敛，此时 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k = L$。柯西判别准则把这一点形式化：在一个拓扑空间中，给定级数 $\sum a_n$，它收敛当且仅当 $\{S_n\}$ 是一个收敛（等价地，柯西）数列，即对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m, n > N$ 时 $|S_m - S_n| < \epsilon$。
Example
对于 $1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots$：$S_1 = 1$，$S_2 = 1.5$，$S_3 = 1.75$，$S_4 = 1.875$，每个部分和都越来越接近 $2$。对于从 $k=1$ 开始的等比级数 $\sum 2^{-k}$，$S_n = 1 - (1/2)^n$，所以当 $n \to \infty$ 时 $S_n \to 1$，说明这个无穷和等于 $1$。相反，调和级数 $\sum 1/n$ 尽管 $a_n \to 0$ 仍然发散：把各项分组为 $1 + (1/2) + (1/3+1/4) + (1/5+\ldots+1/8) + \ldots$，可以看出每一组都超过 $1/2$，所以部分和无界增长。
Key Insight
部分和是我们理解"把无穷多个数加起来"这件事的方式：我们观察随着加入越来越多的项会发生什么，如果它们趋近于一个固定的数，这个无穷级数就收敛于那个数。级数（表示相加的一个表达式）与它的部分和（实际的数值）之间的区别虽然微妙但至关重要，级数只是简写，它的值被定义为部分和的极限。在完备度量空间（巴拿赫空间）中把部分和作为一个数列来研究，为绝对收敛、条件收敛以及各种收敛判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法）提供了理论框架。